2007 de yukarıda bir soru paylaşmışım ama çözümü kaybolmuş gibi görünüyor.
Soru: $a,b,c,d$ negatif olmayan tamsayılar ise $x^{4a} + x^{4b+1} + x^{4c+2} + x^{4d+3}$ ifadesinin $(x+1)(x^2 + 1)$ şeklinde bir çarpana sahip olduğunu gösteriniz.
Çözüm: $(x+1)(x^2 + 1) = 0$ diyelim. Eşitliğin her iki yanını, sıfırdan farklı $x-1$ terimi ile çarpalım. $(x-1)(x+1)(x^2 + 1) = 0$ olup $x^4 = 1$ elde edilir. Bu değeri, $x^{4a} + x^{4b+1} + x^{4c+2} + x^{4d+3}$ polinomunda yazarsak $1 + x + x^2 + x^3$ elde edilir. Ayrıca $1 + x + x^2 + x^3 = (x+1)(x^2+1) = 0$ olduğundan bu bölme işleminden kalanın $0$ olduğunu anlarız. Yani $x^{4a} + x^{4b+1} + x^{4c+2} + x^{4d+3}$ polinomu $(x+1)(x^2+1)$ çarpanına sahiptir.
Not: Benzer işlemleri yaptığımızda daha genel olarak, $n$ bir pozitif tam sayı ve $a_0,a_1,\dots, a_{n-1} \geq 0$ tam sayılar olmak üzere $$ P(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^{na_k + k}$$ olarak tanımlanan $P$ polinomunun $\dfrac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1$ çarpanına sahip olduğunu gösterebiliriz.
