Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $x^2-xy+y^2-x-2y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -3  \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac73  \qquad\textbf{c)}\ -2  \qquad\textbf{d)}\ -\dfrac43  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$A=x^2-xy+y^2-x-2y=x^2-x(y+1)+(y^2-2y)$ olsun. $$4A=4x^2-4x(y+1)+4(y^2-2y)=(2x-y-1)^2-(y+1)^2+4(y^2-2y)=(2x-y-1)^2+3y^2-10y-1$$ $$=(2x-y-1)^2+3\left(y^2-\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}\right)=(2x-y-1)^2+3\left(y-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{28}{3}\geq -\frac{28}{3}$$ olacaktır. Buradan $A\geq -\frac{7}{3}$ olacaktır. Eşitlik durumu $(x,y)=\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)$ iken sağlanır.

[geo]

$\begin{array}{lcl}
a^2+b^2 & \geq & 2ab \\
b^2+c^2 & \geq & 2bc \\
a^2+c^2 & \geq & 2ac \\
\end{array}$
Taraf tarafa toplayıp her iki tarafa $a^2+b^2+c^2$ eklersek $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ elde ederiz. ($3$ terimli Karesel Ortalama - Aritmetik Ortalama Eşitsizliğinin sadece pozitif gerçel sayılar için değil tüm gerçel sayılar için sağlandığını göstermiş olduk.)
$a=y-x, b=x-1, c=2-y$ olsun.
$3\left ((y-x)^2+(x-1)^2+(2-y)^2 \right ) \geq y-x+x-1+2-y = 1$
$3(2x^2-2xy+2y^2-2x-4y+5) \geq 1$
Sorudaki toplama $S$ dersek $3(2S+5)\geq 1 \Longrightarrow S \geq -\dfrac 73$
Eşitlik durumu $y-x=x-1=2-y$ iken yani $x=\frac 43, y=\frac 53$ iken sağlanır.

[Lokman Gökçe]

Bu problem için, parabolde tepe noktası fikri gibi bir temel yöntemi kullanarak farklı bir çözüm daha verebiliriz.


Yanıt: $\boxed{B}$

$A(x)=x^2-xy+y^2-x-2y=x^2-x(y+1)+(y^2-2y)$ olsun. Bu ifadeyi $x$ e göre ikinci dereceden bir fonksiyon gibi düşünebiliriz. Şu temel gerçeği hatırlayalım:

$a>0$ bir sabit ve $A(x) = a(x-r)^2 + k$ iken $A(x)\geq k$ olur, eşitlik durumu $x=r$ için vardır.

Buna göre $r = \dfrac{y+1}{2}$ olup $A(r) = \dfrac{(y+1)^2}{4} -  \dfrac{(y+1)^2}{2} + (y^2 - 2y) = \dfrac{3y^2 - 10y -1}{4}$ olur. O halde $A\geq \dfrac{3y^2 - 10y -1}{4}$ olur. Şimdi de $ \dfrac{3y^2 - 10y -1}{4}$ için minimum değeri araştıralım. Yine tepe noktası formülünü kullanırsak, bu ifadenin $y=\dfrac{5}{3}$ için en küçük değerini alacağını biliyoruz. Bu değeri hesaplarsak $\dfrac{1}{4}\left(3\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 - 10 \cdot \dfrac{5}{3} -1\right)=-\dfrac{7}{3}$ bulunur. Bu en küçük değeri elde etmek için $x=\dfrac{y+1}{2}$ olmalı. Yani $x=\dfrac{4}{3}$. Böylece $A_{\min} = - \dfrac{7}{3}$ tür.