Yanıt: $\boxed{C}$
$y=\dfrac{x^2-1}{4}$ değerini diğer denklemde yazarsak $\dfrac{(x-1)^2(x+1)^2}{16} = (x+1)(x^2-x+1)$ olup her iki tarafta da $x+1$ çarpanı olduğundan $x=-1$ değerinin bir kök olduğu bulunur. $(x,y)= (-1,0)$ çözüm ikilisi elde edilir.
Şimdi $x\neq -1$ olsun ve $x+1$ çarpanlarını her iki taraftan sadeleştirelim. Böylece, $(x-1)^2(x+1)=16(x^2-x+1)$ olup düzenlenirse $$ x^3 - 17x^2 + 15x -15 = 0 $$ kübik denklemi elde edilir. Bu denklemlerin en az bir gerçel kökü olduğunu biliyoruz. Ayrıca $x\leq 0$ iken denklemin sol tarafı negatif olduğundan çözüm yoktur. O halde ya üç kök pozitiftir, ya da bir kök pozitif olup diğer iki kök kompleks eşleniktir. Yalnız bir kökün gerçel sayı olduğunu kanıtlayacağız.
$ x^3 - 17x^2 + 15x -15 = 0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2,x_3$ olsun. Belirlilik açısından $x_3>0$ pozitif köktür diyelim. Vieta teoreminden
$$ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 15$$
$$ x_1x_2x_3 = 15 $$
yazılır. Eğer $x_1,x_2>0$ ise aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden,
$$ \dfrac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1^2x_2^2x_3^2 } $$
olmalıdır. Buradan, $\dfrac{15}{3} \geq \sqrt[3]{15^2} \implies 5^3 \geq 15^2$ çelişkisi elde edilir. O halde bir kök pozitif olup diğer iki kök kompleks eşleniktir. $x=x_3$ için $y=\dfrac{x^2-1}{4}$ denklemi kullanılarak yalnız bir $y=y_3$ değeri elde edilir. $(x,y) = (x_3, y_3) $ çözüm ikilisi bulunur.
Toplamda, denklem sistemini sağlayan $2$ tane $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır.
