2004 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1

[matematikolimpiyati]

Her $x,y \in \mathbb{R}^+$ için
$$f(x)f(y)=f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$$
eşitliğini sağlayan tüm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$  fonksiyonlarını bulunuz.

Not: Bu soru 2005 yılında Küba Matematik Olimpiyatlarında da sorulmuş

[Metin Can Aydemir]

$x=y=1$ için $(f(1))^2=f(1)+2$ olacağından $f(1)=\lambda$ için $$\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1)=0\implies f(1)=2\text{   veya   } f(1)=-1$$ Eğer $f(1)=2$ ise $y=1$ için $$f(x)f(1)=f(x)+\frac{1}{x}+1\implies f(x)=\frac{1}{x}+1$$ elde edilir. Yerine koyarsak eşitliği sağlar. Yani $f(x)=\frac{1}{x}+1$ sağlar.

Eğer $f(1)=-1$ ise $y=1$ için $$f(x)f(1)=f(x)+\frac{1}{x}+1\implies f(x)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}$$ elde edilir ancak yerine koyduğumuzda eşitlik sağlanmaz. Dolayısıyla tek çözüm $\boxed{f(x)=\frac{1}{x}+1}$'dir.