Balkan Matematik Olimpiyatı 1985 Soru 4

[matematikolimpiyati]

$1985$ kişinin katıldığı bir konferansta her $3$ kişilik grupta aynı dili konuşan en az $2$ kişi vardır. Her bir katılımcının en fazla $5$ dil konuştuğu bu konferansta aynı dili konuşan en az $200$ kişi olduğunu kanıtlayın.

(Romanya)

[geo]

Hiçbir ortak dil konuşmayan iki kişiyi ele alalım. (Şimdilik böyle iki kişinin bulunduğunu varsayalım.) İki kişi en fazla $10$ farklı dil konuşacak. Diğer $1983$ kişiden her biri bu $10$ dilden birini konuşmak zorunda. Güvercin Yuvası Prensibine göre dillerden biri bu $1983$ kişinin en az $\lceil 1983/10 \rceil = 199$ u tarafından konuşulacak. Bu dil aynı zamanda başlangıçtaki iki kişiden biri tarafından da konuşulacağı için, bu dil en az $200$ kişi tarafından konuşulur.

Peki ya hiçbir ortak dil konuşmayan iki kişi bulunamazsa? Yani her iki kişi en az bir dili ortak konuşuyorsa.
Bu durumda bir kişi en fazla $5$ dil bileceği için, bu dillerden birisi diğer $1984$ kişiden en az $\lceil 1984/5 \rceil = 397$ si tarafından konuşuluyor olacak. Bu da bu dilin en az $398$ kişi tarafından konuşuluyor olması demek.