Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 36

[matematikolimpiyati]

$\quad$

Şekilde yer alan $8$ doğru parçasından her biri tek bir renkle ve ortak bir noktası bulunan doğru parçaları farklı renklerde olmak koşulu ile mevcut $5$ farklı renk kullanılarak boyanacaktır. Bu $5$ rengin tümünü kullanmak gerekmiyorsa, söz konusu boyama işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 480  \qquad\textbf{b)}\ 720  \qquad\textbf{c)}\ 1200  \qquad\textbf{d)}\ 1680  \qquad\textbf{e)}\ 2160$

[geo]

Yanıt: Şıklardan hiçbiri

Renkler $A, B, C, D, E$ olsun. Önce $5$ renkten 4'ünü (diyelim $A$, $B$, $C$, $D$'yi) $\dbinom{5}{4}$ yolla seçip, köşegenleri oluşturan $4$ doğru parçasını $4!$ yolla boyayalım (ortak noktalan bulunduğu için bunlar değişik renklerle boyanacak).

O halde $5.$ rengi ($E$'yi) en fazla $2$ kez kullanabiliriz ve $2$ kez sadece $2$ karşı kenarda kullanabiliriz. Bu durumda $2$ karşı kenarı $2$ yolla seçebiliriz. Diğer $2$ karşı kenar $2$'şer yolla boyanabilir. Bu durumda $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ seçenek bulunur. $E$ rengini tam $1$ kez kullanırsak, kullanacağımız kenarı $\dbinom 41$ yolla seçebiliriz. Örneğin üstteki kenar $E$ rengine boyansın. O halde sağ kenar $A$ rengine boyanırsa alt kenar $B$, sol kenar $C$ rengine boyanmak zorunda. Sağ kenar $D$ rengine boyanırsa, ya alt kenar $A$, sol kenar $B$ veya $C$, ya da alt kenar $B$, sol kenar da $C$ rengine boyanacak. Dolayısıyla bu durumda $\dbinom 41 \cdot (1+2+1)=16$ seçenek bulunur. $E$ rengini hiç kullanmazsak, üst kenan $D$ veya $C$ ile boyamak zorundayız. $D$ ile boyarsak, sağ kenarı $A$, alt kenarı $B$ ve sol kenarı $C$ ile boyamak zorundayız. Üst kenarı $C$ ile boyarsak, sol kenarı $B$, alt kenarı $A$, sağ kenarı da $D$ ile boyamak zorundayız. Dolayısıyla bu durumda sadece $2$ seçenek bulunur. Böylece boyama işlemi $5 \cdot 4! \cdot(8+16+2)=3120$ yolla yapılabilir.

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe, 2006. Problem No: 2.59, Sayfa 139.