Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 05

[alpercay]

$7$ sayısı $2,22,222,2222,...$  dizisinin kaç terimini böler?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$222222 = 2 \cdot 111111 = 2\cdot 111\cdot 1001$ ve $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ olduğundan $7\mid 222222$ dir. Dolayısıyla, tüm rakamları $2$ den oluşan ve basamak sayısı $6$ nın katı olan tüm pozitif tam sayılar $7$ ile tam bölünebilir. $7\mid 222222222222$ gibi. Bu şekilde sonsuz çoklukta sayı vardır.

[geo]

$2$ ile $7$ aralarında asal olduğu için bu soru; $1, 11, 111, \ldots$ dizisinin kaç terimi $7$ ile bölünür sorusu ile aynıdır.
$9$ ile $7$ aralarında asal olduğu için yeni soru da; $9, 99, 999, \ldots$ dizisinin kaç terimi $7$ ile bölünür sorusu ile aynıdır. Bu dizi eşdeğer olarak $10^{1}-1, 10^{2}-1, \dots , 10^{6}-1, \dots$ şeklinde yazılabilir.
Fermat'ın Ķüçük Teoreminden $10^6\equiv 1\pmod 7$ olacağı için $k\in \mathbf Z^+$ olmak üzere $n=6k$ sıradaki terimler $7$ ile bölünür.