Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 22

[alpercay]

Aşağıdaki sayılardan hangisi  $(a^3-1)\cdot a^3\cdot(a^3+1)$  sayısını  $a$'nın en az bir tam sayı değeri için bölmez?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$\bullet$ $a$ çift sayı iken $8\mid a$ dır. $a$ tek sayı iken $8\mid (a^2-1)$ dir. O halde her $a$ tam sayısı için $8\mid (a^3-1)a^3(a^3+1)$ olur.
$\bullet$ $3\mid a$ iken $9\mid a^2$ dir. $3\nmid a$ iken $\phi(9)=6$ olduğundan $9\mid (a^6-1)$ dir. O halde her $a$ tam sayısı için $9\mid (a^3-1)a^3(a^3+1)$ olur.
$\bullet$ Fermat teoreminden $a^7 \equiv a \pmod{7}$ olduğundan $7\mid a(a^6-1)$ dir. O halde her $a$ tam sayısı için $7\mid (a^3-1)a^3(a^3+1)$ olur.
$\bullet$ Yukarıdaki sonuçlara göre her $a$ tam sayısı için $6\mid (a^3-1)a^3(a^3+1)$ olur.