Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 16

[matematikolimpiyati]

$ABC$ bir üçgen$,\ s(\widehat{B})=90^{\circ},\ A$ açısının iç açıortayına $C$ noktasından indirilen dikmenin ayağı $D,\ AD$ ile $BC$ doğrularının kesişim noktası $E$ olmak üzere$,\ |AE|=12$ ve $|ED|=4$ ise $AEC$ üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 64  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 24\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt2$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$\text{Alan}(AEC) = \dfrac {|AE| \cdot |CD|}{2}$.

$|AE|=12$ bilindiği için $|CD|$ yi bulmamız gerekiyor.

$\angle EAC = \angle EAB = \alpha$ dersek $\angle ECD = 90^\circ -  \angle DEC = 90^\circ - \angle AEB = \angle BAE = \angle CAE = \alpha$ olur.

Bu durumda $\triangle DEC \sim \angle DCA \quad (AA)$ olacaktır. $$\dfrac {|DE|}{|DC|} = \dfrac {|DC|}{|DA|} \Rightarrow |DC|^2 = |DE| \cdot |DA| = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow |DC| = 8$$

$\text{Alan}(AEC) = \dfrac {|AE| \cdot |CD|}{2} = \dfrac {12\cdot 8}{2} = 48$.