2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$a_1,a_2,...,a_{100}$ tam sayıları için

                     $a_1+a_2+ \cdots + a_{100}=1001^{1001}$

eşitliği sağlandığına göre$,\ a_1^3+a_2^3+ \cdots + a_{100}^3$ sayısının $6$ ile bölümünden kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Her $x$ tam sayısı için $x^3 \equiv x \pmod{6}$ olduğunu görmek zor değildir. Bunun için $x^3 - x = (x+1)x(x-1)$ sayısının hem $3$ ile hem de $2$ ile tam bölünebildiği gerçeğinden faydalanabiliriz. Böylece, $\ a_1^3+a_2^3+ \cdots + a_{100}^3 \equiv a_1+a_2+ \cdots + a_{100}\equiv 1001^{1001} \equiv (-1)^{1001} \equiv 5 \pmod{6}$ elde edilir.