Cevap: $\boxed{A}$
Eğer $$\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ yazarsak, istenilen şart $$n(n+1)(2n+1)\equiv 0\pmod{105\cdot 6}$$ ile denktir. $105\cdot 6=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ olduğundan $2,5,7,9$ modlarında incelememiz yeterlidir. İfadenin her zaman $2$ modunda $0$ kalanı verdiği barizdir. Mod $5$ için $$n(n+1)(2n+1)\equiv 0\pmod{5}\iff n\equiv 0,2,4\pmod{5}$$ Mod $7$ için $$n(n+1)(2n+1)\equiv 0\pmod{7}\iff n\equiv 0,3,6\pmod{7}$$ Mod $9$ için ya $n$, $n+1$, $2n+1$ çarpanları $0$ kalanı vermelidir ya $n$ ve $2n+1$ çarpanları $3$'ün katı kalan vermelidir (ki böyle bir $n$ yoktur) ya da $n+1$ ve $2n+1$ çarpanları $3$'ün katı olmalıdır (böyle bir $n$ de yoktur). Buradan $$n\equiv 0,4,8\pmod{9}$$ çözümleri bulunur. Çin kalan teoreminden $n$'nin alabileceği değerler mod $315$'de $27$ adettir ve bunlardan biri $0$ kalanıdır. $945=3\cdot 315$ olduğundan $0\leq n< 945$ aralığında $27\cdot 3=81$ çözüm vardır. $0$'ı çıkartırsak $80$ çözüm bulunur.
