Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerinde birinde $m$ diğerinde $n$ bilye bulunan iki öbek bulunmaktadır. Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu masa üzerinde en az iki bilye içeren bir öbeği hiçbiri boş olmayan iki öbeğe ayırıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(m,n)=(10,11),\ (10,13),\ (11,12),\ (11,21)$ ve $(27,30)$ ikilileri için birer kez oynanırsa$,$ Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[vedatde]

$m+n$ sayısı başlangıçta 2 öbeğe ayrılmış.  m adetlik bilye ve n adetlik bilye olmak üzere.
Her yeni hamlede öbek sayısı 1 artar.
Son hamle yapıldığında  öbek sayısı $m+n$ olur. Yani $m+n=1+1+1+⋯+1+1$
Başlangıçta 2 öbek vardı, son öbek sayısı da $m+n$ olmuştu.
Öyleyse yapılan hamle sayısı $=m+n-2$ tanedir.
Hamle sayısı tek ise Aslı hamle yapmakta, çift ise Zehra yapmaktadır.

O zaman Oyunu
$\left(m,n\right)=\left(10,11\right)\ ,\ \left(10,13\right),\ \left(11,12\right)\ ,\ \left(27,30\ \right)$ olduğunda $m+n-2$ değeri tek sayı ve
bu 4 oyunu Aslı kazanır.
$\left(m,n\right)=\left(11,21\right)$ olduğunda $m+n-2$ çift sayı ve bu oyunu Zehra kazanır.