Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$m^4-25^n=6560$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[vedatde]

$n\geq1$ ise
Mod 5 göre incelediğimizde eşitliğin sağ tarafı 5'e bölünür, sol tarafı ise m  5'in katı ise 5'e
bölünür. Yani $m=5k$ olmalıdır. O zaman
$\left(5k\right)^4-5^{2n}=6560=5.1312$
Mod 25 göre ise bu kez eşitliğin solu 25'e bölünür ancak sağı 25'e bölünmez.
Öyleyse $n<1$ olmalıdır. O zaman $n=0$   Bu durumda
$m^4-1=6560$
$m^4=6561=9^4$ ve
$m=9$ veya $m=-9$ olur. Çözüm ikileri ise
$\left(9,0\right)$ ve $\left(-9,0\right)$ olmak üzere 2 tanedir.