Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$21$ öğrenciden oluşan bir sınıfta bazı öğrenciler arkadaştır (arkadaşlık karşılıklıdır). Bu sınıfta arkadaş sayıları eşit olan iki arkadaş bulunmuyorsa, bu sınıftaki arkadaş ikililerinin sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 175  \qquad\textbf{b)}\ 177  \qquad\textbf{c)}\ 179  \qquad\textbf{d)}\ 181  \qquad\textbf{e)}\ 183$

[vedatde]

21 öğrencinin olduğu sınıfta 1 öğrenci diğer 20 öğrenci ile arkadaş olsun.

19 arkadaşı olan en fazla 2 öğrenci olabilir. Bu durumda bu 2 öğrenci birbiri ile arkadaş değildir.
Diğerleri ile arkadaştır.

18 arkadaşı olan en fazla 3 öğrenci olabilir. Bu durumda bu 3 öğrenci birbiri ile arkadaş değildir.
Diğerleri ile arkadaştır.

17 arkadaşı olan en fazla 4 öğrenci olabilir. Bu durumda bu 4 öğrenci birbiri ile arkadaş değildir.
Diğerleri ile arkadaştır.

16 arkadaşı olan en fazla 5 öğrenci olabilir. Bu durumda bu 5 öğrenci birbiri ile arkadaş değildir.
Diğerleri ile arkadaştır.

15 arkadaşı olan en fazla 6 öğrenci olabilir. Bu durumda bu 6 öğrenci birbiri ile arkadaş değildir.
Diğerleri ile arkadaştır.

$1+2+3+4+5+6=21$ öğrenci oldular.
 
$\frac{1.20+2.19+3.18+4.17+5.16+6.15}{2}=
\frac{20+38+54+68+80+90}{2}=\frac{350}{2}=175$ arkadaş ikilisi vardır.

Veya

21 öğrenci  $\frac{21.20}{2}=210$ ikili oluşturabilir. Ancak,
2 öğrenci birbiri ile arkadaş değilse $\frac{2.1}{2}=1$ ikili yok,
3 öğrenci birbiri ile arkadaş değilse $\frac{3.2}{2}=3$ ikili yok,
4 öğrenci birbiri ile arkadaş değilse $\frac{4.3}{2}=6$ ikili yok,
5 öğrenci birbiri ile arkadaş değilse $\frac{5.4}{2}=10$ ikili yok,
6 öğrenci birbiri ile arkadaş değilse $\frac{6.5}{2}=15$ ikili yok,
Öyleyse $210-1-3-6-10-15=210-35=175$ arkadaş ikilisi vardır.