1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 03

[matematikolimpiyati]

$1 \times 19$ boyutlarında bir dikdörtgen, şekilde görüldüğü gibi, $19$ tane eşit kareye bölünmüş ve karelerin köşeleri işaretlenmiştir. Köşeleri, işaretlenmiş noktalarda bulunan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 216  \qquad\textbf{c)}\ 228  \qquad\textbf{d)}\ 244  \qquad\textbf{e)}\ 256$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Bu soru Lise 1-2'nin 15. sorusunun değer değiştirilmiş versiyonudur. Lokman hocanın o soruya yaptığı çözümü genelleştirelim. $1\times (2n+1)$ için çözeceğiz.

$1\times 1$ türündeki her bir kare için $4$ tane ikizkenar üçgen çizilebilir. $n$ birim kare için bu şekilde toplam $4(2n+1)=8n+4$ tane ikizkenar üçgen vardır. Ayrıca, tabanı dikdörtgenin uzun kenarı üzerinde olan ikizkenar üçgenler de vardır. Bu ikizkenar üçgenlerin taban uzunlukları $2, 4,\dots,2n$ birim uzunluğunda olabilir. Bu tabanların, dikdörtgenin alt uzun kenarı üzerinde olduğunu düşünürsek her birinden sırasıyla $2n, 2n-2,\dots, 4, 2$ tane vardır. Toplamda $n(n+1)$ eder. Üst uzun kenar için de benzer hesaplama ile $n(n+1)$ tane ikizkenar üçgen bulunur. Genel toplam$$ 8n+4 + n(n+1) + n(n+1) = 2n^2+10n+4$$ elde edilir. $n=9$ için $256$ ikizkenar üçgen bulunur.