Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, her $x$ gerçel sayısı için $f(x)=x^2+ax+b$ olsun. $f(x)=0$ denkleminin sadece bir tane gerçel kökü vardır. $f(3x-4)+f(5x+2)=0$ denkleminin de yalnızca bir tane gerçel kökü varsa, $f(x)=0$ denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ -13  \qquad\textbf{b)}\ -8  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 28$

[ygzgndgn]

Cevap: A

$f(x)=0$ denkleminin tek gerçel kökü $n$ olsun. Bu durumda $f(x)$ monik bir ikinci dereceden polinom olduğundan $f(x)=(x-n)^2$ olmalıdır. O halde $$f(3x-4)=(3x-4-n)^2\geq 0$$ $$f(5x+2)=(5x+2-n)^2\geq 0$$ olmalıdır. Öyleyse $$f(3x-4)+f(5x+2)=0\Rightarrow 3x-4=5x+2=n$$ olmalıdır. $3x-4=5x+2\Rightarrow x=-3$ bulunur. Yerine yazılırsa $n=-13$ değerinin bunu sağladığı fark edilir. Gerçekten de verilen ikinci denklemde bu yerine yazılırsa $$f(3x-4)+f(5x+2)=(3x+9)^2+(5x+15)^2=34(x+3)^2$$ olduğu ve denklemin tek gerçel çözümü olduğu görülür. Dolayısıyla $-13$ değeri verilen koşulu sağlar. $f(x)=(x+13)^2$ ve $a=26$ ile $b=169$ bulunur.