Üstteki çözümü biraz daha detaylandırarak yazmıştım, paylaşalım:
$ P_m(x)=x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2 = (x^2 - (m+2))^2 - 8m$ olarak yazalım.
$ P_m(x)$'in birinci dereceden bir çarpanı varsa bu çarpandan (rasyonel kök teoremi gereğince) bir tam sayı kök elde edilecektir. O halde bir $x$ tam sayı kökü için $(x^2 - (m+2))^2 = 8m$ olur ve buradan $m=2n^2$ ($n\geq 0$ bir tam sayı) olması gerektiğini anlarız. Bu durumda $P_m(x) = (x^2 - (2n^2+2))^2 - 16n^2 = (x^2 - 2n^2 - 4n - 2)(x^2 - 2n^2 + 4n - 2) = (x^2 - 2(n+1)^2)(x^2 - 2(n-1)^2) $ olur. Bir $x$ tam sayı kökü için $x^2 = 2(n-1)^2$ olacağından $x=0$ ve $n=1$, $m=2$ elde edilir. $P_2(x) = x^2 (x^2 - 8 )$ şeklinde çarpanlara ayrılır.
$P_m(x)$'in birinci dereceden çarpanı yoksa, her ikisi de ikinci dereceden olan iki çarpana sahip olmalıdır.
$$ P_m(x) = (x^2 - (m+2))^2 - 8m = (x^2 - (m+2) - 2\sqrt{2m})(x^2 - (m+2) + 2\sqrt{2m})$$
yazılırsa $m+2 \mp 2\sqrt{2m} = (\sqrt{m} \mp \sqrt{2})^2$ olduğundan bu denklemin kökleri $\mp (\sqrt{m} \mp \sqrt{2})$ dir. Katsayılar tam sayı olacak biçimde kökleri ikişerli olarak eşleştirerek ikinci dereceden çarpanları oluşturalım:
$(x + (\sqrt{m} + \sqrt{2}))(x - (\sqrt{m} + \sqrt{2})) = x^2 -(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 = x^2 - (m+2 + 2\sqrt{2m})$ ve
$(x + (\sqrt{m} - \sqrt{2}))(x - (\sqrt{m} - \sqrt{2})) = x^2 -(\sqrt{m} - \sqrt{2})^2 = x^2 - (m+2 - 2\sqrt{2m})$
olur. Bu çarpanların tam sayı katsayı içermesi için $m=2n^2$ ($n\geq 0$ bir tam sayı) olmalıdır. (Birinci dereceden çarpan içerme durumunda bunu görmüştük. Yani yukarıdaki durum incelemesi atlanabilir.)
Şimdi de $(x + (\sqrt{m} + \sqrt{2}))(x + (\sqrt{m} - \sqrt{2})) = x^2 + 2\sqrt{m}x + (m - 2) $ ve
$(x - (\sqrt{m} + \sqrt{2}))(x - (\sqrt{m} - \sqrt{2})) = x^2 - 2\sqrt{m}x + (m - 2) $
olur. Bu çarpanların tam sayı katsayı içermesi için $m=n^2$ ($n\geq 0$ bir tam sayı) olmalıdır.
