Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05

[Metin Can Aydemir]

Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD|=|EC|<|BE|$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $|AB|=3|AD|+|AE|$ ve $|AC|=|AD|+3|AE|$ ise, $\dfrac{|BC|}{|DE|}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$|BD|=|EC|=a$ ve $|ED|=b$ diyelim. $|AD|=x$ ve $|AE|=y$ ise $|AB|=3x+y$ ve $|AC|=3y+x$ olacaktır. $ABE$ ve $ACD$ üçgenlerinde Steward teoreminden, $$\dfrac{b(3x+y)^2+ay^2}{a+b}-ab=x^2$$ $$\dfrac{b(3y+x)^2+ax^2}{a+b}-ab=y^2$$ olur. Taraf tarafa çıkartırsak, $$\dfrac{b\left ((3x+y)^2-(3y+x)^2\right )-a\left (x^2-y^2\right )}{a+b}=\dfrac{(8b-a)\left (x^2-y^2\right )}{a+b}=x^2-y^2\Longrightarrow \dfrac{8b-a}{a+b}=1\Rightarrow 7b=2a$$ elde edilir (Üçgen çeşitkenar olduğundan $x\neq y$ olur). Bizden istenilen oran, $\dfrac{2a+b}{b}=\dfrac{8b}{b}=8$ olur.

[geo]

Stewart yerine yükseklik ile alakalı formülü kullanarak da sonuca gidebiliriz.

$A$ dan $BC$ ye inilen yüksekliğin ayağı $H$ olsun.

$AB^2 - AC^2 = BH^2 - GC^2$ ve $AD^2 - AE^2 = DH^2 - HE^2$ eşitlikleri elde edilir. Taraf tarafa oranlarsak

$\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BH^2 - HC^2}{DH^2 - HE^2} = \dfrac{(BH+HC)(BH-HC)}{(DH+HE)(DH-HE)} = \dfrac{BC}{DE} \cdot \dfrac{(BD+DH) - (CE + EH)}{DH-EH}$

$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} $

$AB = 3AD + AE$ ve $AC = AD + 3AE$ eşitliklerini de yerine yazarsak $$\dfrac{BC}{DE} =  \dfrac{(4AD + 4AE)(2AD -2AE)}{AD^2 - AE^2} = 8 $$

[DrLucky]

$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.

Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

[Metin Can Aydemir]

$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.

Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

İlk çözümün resmindeki notasyonları kullanırsak, $(3x+y)^2-(3y+x)^2=8x^2-8y^2=8(x^2-y^2)$ olduğu için bunu diyebiliyoruz.

[DrLucky]

$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.

Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

İlk çözümün resmindeki notasyonları kullanırsak, $(3x+y)^2-(3y+x)^2=8x^2-8y^2=8(x^2-y^2)$ olduğu için bunu diyebiliyoruz.

Tamamdır çok teşekkürler

[geo]

$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.

Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

Eklendi.