Benim gibi dışaçıortay teoremi, açıortay teoremi veya kenarortay teoremi yerine Stewart teoremini ezberliyenler için başka bir genelleştirilmiş teoremi verip oradan çözelim,
Teorem: Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üzerinde $D$ ve $E$ noktaları alalım ($D$, $[BE]$ üzerinde olacak şekilde). Ayrıca $m(\widehat{BAD})=\alpha$, $m(\widehat{DAE})=\beta$ ve $m(\widehat{EAC})=\theta$ olsun. Buna göre $$\dfrac{\sin{\beta}\cdot \sin{\left (\alpha+\beta+\theta\right )}}{\sin{\alpha}\cdot \sin{\theta}}=\dfrac{|DE|\cdot |BC|}{|BD|\cdot |EC|}$$ sağlanır.
Teoremin ispatı için $ABC$, $BAD$, $DAE$ ve $EAC$ üçgenlerinde sinüs teoremini uygulayın. Bu teoremin literatürde bir adı var mı bilmiyorum. Ben bu teoremi harmonik demetleri incelerken kendim keşfedip kullanmaya başlamıştım.
Soruya dönersek $BAD$ üçgeninin açıortayının $BD$'yi kestiği noktaya $E$ diyelim. Ayrıca $|AB|=x$, $|BD|=y$ ve $|BE|=z$ diyelim. $ABC$ üçgeninde üstteki "Aydemir" teoremini uygularsak (adsız kalacağına Aydemir teoremi diyelim
) $$\dfrac{\sin{60^\circ}\cdot \sin{150^\circ}}{\sin{60^\circ}\cdot \sin{30^\circ}}=\dfrac{|DE|\cdot |BC|}{|BE|\cdot |DC|}$$ $$\Longrightarrow 1=\dfrac{(y-z)(y+21)}{21z}$$ elde edilir.
$ABD$'de açıortay teoreminden $$\dfrac{6}{y-z}=\dfrac{x}{z}\Longrightarrow \dfrac{6}{x}=\dfrac{y-z}{z}$$ Buradan $\dfrac{(y-z)(y+21)}{21z}=\dfrac{2(y+21)}{7x}=1$ bulunur. $y=7k$ dersek $x=2k+6$ bulunur. $BAD$ üçgeninde kosinüs teoreminden $$(2k+6)^2+6^2+6(2k+6)=(7k)^2\Longrightarrow 5k^2-4k-12=0\Rightarrow (5k+6)(k-2)=0$$ bulunur. $k=2$ olabilir, yani $x=2k+6=\boxed{10}$ bulunur.
