Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 25

[Uygar ÖZTÜRK]

$m(\widehat{B A C})=60^{\circ}$ olan bir $A B C$ üçgeninin $[B C]$ kenarı üzerinde $m(\widehat{A D B})<90^{\circ}$ şartını sağlayan bir $D$ noktası alınıyor. $|A B| \cdot|A C|=4, |B D| \cdot|C D|=2$ ve $|A D|=\sqrt{2}$ ise, $m(\widehat{A D B})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 15^\circ \qquad\textbf{b)}\ 30^\circ \qquad\textbf{c)}\ 45^\circ \qquad\textbf{d)}\ 60^\circ \qquad\textbf{e)}\ 75^\circ$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$|AD|^2=|AB|\cdot |AC| - |BD|\cdot |CD|$ bağıntısı sağlandığından hızlı bir yanıt amacıyla test mantığı ile $[AD]$ nin iç açıortay olduğunu varsayabiliriz. İç açıortay ile ilgili detaylı bir ispat bulunursa çözüme eklenebilir.

Şimdi $m(\widehat{BAD})=m(\widehat{CAD})=30^\circ $ olur. İç açıortay teoreminden $\dfrac{|AB|}{|BD|}=\dfrac{|AC|}{|CD|}=k$ olduğundan $\dfrac{|AB|}{|BD|}\cdot \dfrac{|AC|}{|CD|}= k^2$ dir. $\dfrac{4}{2}=k^2$ olup $k=\sqrt{2}$ bulunur. Buna göre $|AB|=\sqrt{2}|BD|$ dir. Ayrıca $B$ den $[AD]$ ye inilen dikme ayağına $H$ dersek, $ABH$ $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ dik üçgeninde $|AB|=2|BH|$ olur. Böylece $|BD|=\sqrt{2}|BH|$ olup $BDH$ ikizkenar dik üçgendir. $m(\widehat{ADB})=45^\circ $ bulunur.

[geo]

$B$ ile $C$ noktalarını ayıran bir özellik olmadığı için  $AB \leq AC$ kabul edelim.
$AB = AC$ ise $AB = AC = BC = 2$ ve üçgenin yüksekliği $AD$ den büyük olduğu için $(\sqrt 3 > \sqrt 2 = AD)$ için çözüm yoktur.

O halde $AB < AC$ üzerinden çözüme devam edelim.
$AB=AE$ olacak şekilde $[AC]$ üzerinde bir $E$ noktası alalım.

$A$ nın $D$ ye göre simetriği $F$ olsun.
$BD\cdot DC = AD \cdot DF = 2$ olduğu için $ABFC$ bir kirişler dörtgenidir.
$AD\cdot AF = AE \cdot AC = AB \cdot AC = 4$ olduğu için de $DECF$ bir kirişler dörtgenidir.
$\angle ABE = \angle AEB$ ve kirişler dörtgenlerinin özelliklerinden $\angle ABD = \angle AEC = \angle AED$ olduğu için $\angle EBD = \angle BED$ olur. Yani $ABDE$ bir deltoid ve $\angle BAD = \angle DAC = 30^\circ$ dir. Bu durumda $ABFC$ kirişler dörtgeninde $BF = FC$ ve $\angle CBF = \angle BCF = 30^\circ$ olur. İkizkenar üçgende Stewart'ın özel halinden $FC^2 = BD\cdot CD + FD^2 = 4 \Rightarrow BF = 2$ elde edilir. $BC$ nin orta noktası $M$ olsun.  $\triangle BFM$ bir $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ üçgeni olduğu için $FM = 1$. $\triangle FMD$ dik üçgeninde $FD = \sqrt 2$ olduğu için $\angle FDC = 45^\circ$ ve $\angle ADB = 45^\circ$ elde edilir.