Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 25

[AtakanCİCEK]

Bir $A_1$,$A_2$...$A_{26}$ düzgün $26$-geninde $A_1A_2$,$A_1A_{15}$,$A_1A_{16}$ doğruları $A_8A_{21}$ doğrusunu sırasıyla $B$,$C$,$D$ noktalarında kesiyorlar. $\dfrac{|A_8B|}{|CD|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}  \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{3}  \qquad \textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 3$

[Kerem123]

k = 0,1,...,13 i¸cin Xk noktasını A1Ak+8 ile A8A21 in kesi¸simi olarak tanımlayalım. Yani sorudaki notasyona g¨ore A8 = X0,B = X1,C = X7,D = X8,A21 = X13 olur. ˙Iki adet ¨onemli e¸sitlik elde edece˘giz: Birincisi, A8A21 ve A1A14 ¨un her biri ¸cokgenin ¸cevrel ¸cemberinin ¸caplarıdır, o halde X6 merkezdir. Yani |X0X6| = |X6X13|. ˙Ikincisi, A1A15 ⊥ A8A21 ve m(Ÿ XiA1X7) = m( ¤ X14−iA1X7) oldu˘gu kolaylıkla g¨or¨ul¨ur ve sonu¸c olarak |X7Xi| = |X7X14−i| e¸sitli˘gi ve daha genel olarak her i,j = 1,2,...,6 i¸cin |XiXj| = |X14−jX14−i|. ˙Ikinci e¸sitli˘gin i = 1,j = 6 durumundaki ¨ozel |X1X6| = |X8X13| e¸sitli˘gini birinci e¸sitlikten ¸cıkarırsak |X0X1| = |X6X8| = |X6X7|+|X7X8| = 2·|X7X8| bulunur. Buradan |A8B| |CD| = |X0X1| |X7X8| = 2 olduğgu görülür.

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $2$.

$k=0,1, \ldots, 13$ için $X_k$ noktasını $A_1 A_{k+8}$ ile $A_8 A_{21}$ in kesişimi olarak tanımlayalım. Yani sorudaki notasyona göre $A_8=X_0, B=X_1, C=$ $X_7, D=X_8, A_{21}=X_{13}$ olur. İki adet önemli eşitlik elde edeceğiz: Birincisi, $A_8 A_{21}$ ve $A_1 A_{14}$ ün her biri çokgenin çevrel çemberinin çaplarıdır, o halde $X_6$ merkezdir. Yani $\left|X_0 X_6\right|=\left|X_6 X_{13}\right|$. İkincisi, $A_1 A_{15} \perp A_8 A_{21}$ ve $\left|X_7 X_i\right|=\left|X_7 X_{14-i}\right|$ eşitliği ve daha genel olarak her $i, j=1,2, \ldots, 6$ için $\left|X_i X_j\right|=\left|X_{14-j} X_{14-i}\right|$. İkinci eşitliğin $i=1, j=6$ durumundaki özel $\left|X_1 X_6\right|=\left|X_8 X_{13}\right|$ eşitliğini birinci eşitlikten çıkarırsak $\left|X_0 X_1\right|=\left|X_6 X_8\right|=$ $\left|X_6 X_7\right|+\left|X_7 X_8\right|=2 \cdot\left|X_7 X_8\right|$ bulunur. Buradan $\dfrac{\left|A_8 B\right|}{|C D|}=\dfrac{\left|X_0 X_1\right|}{\left|X_7 X_8\right|}=2$ olduğu görülür.

Kaynak: Tübitak 26. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2018