Eşitsizlik (2013 Ortaokul Türkiye Benzeri)

[MATSEVER 27]

$a+b+c=0$ ve $a^2+b^2+c^2=2$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ gerçel sayıları için;
$$|a^2b^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+c^2a^2(c-a)|$$
ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

[LaçinCanAtış]

cevap 2 soru güzel

[LaçinCanAtış]

$\lambda =|a^{ 2 }b^{ 2 }(a-b)+b^{ 2 }c^{ 2 }(b-c)+c^{ 2 }a^{ 2 }(c-a)|=|(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)|=|(a-b)(b-c)(c-a)|$
Genelliği bozmadan $a\ge b\ge c$ kabul edelim o halde
$$a-c\le \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}=2$$
$ |(a-b)(b-c)(c-a) |=(a-b)(b-c)(a-c)  \le (\frac{a-b+b-c}{2})^2(a-c)=\frac{1}{4}(a-c)^3 \le 2 $
$$\bigstar $$