EŞİTSİZLİK $123$ { çözüldü }

[MATSEVER 27]

$abc=8$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} +\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geq \frac{4}{3}$$
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3abc(a+b+c)$ eşitsizliğini kullanarak; $A.G.O$'dan $a^2+b^2+c^2\geq 12$ ve $a+b+c\geq 6$ bulunur.

$A=\dfrac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} +\dfrac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\dfrac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}$ diyelim.

 Chebyshev Eşitsizliğinden

$A\geq \dfrac {\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \left( \dfrac {1} {\sqrt {\left( a^{3}+1\right) \left( b^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {\left( b^{3}+1\right) \left( c^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {(a^{3}+1)(c^{3}+1)}}\right) } {3}$ elde edilir.

${\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \left( \dfrac {1} {\sqrt {\left( a^{3}+1\right) \left( b^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {\left( b^{3}+1\right) \left( c^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {(a^{3}+1)(c^{3}+1)}}\right) } \geq 4$  olduğunu gösterirsek ispat biter.

$B={\left( \dfrac {1} {\sqrt {\left( a^{3}+1\right) \left( b^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {\left( b^{3}+1\right) \left( c^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {(a^{3}+1)(c^{3}+1)}}\right) }$ dersek;

Chebyshev Eşitsizliğinden

$B\geq \dfrac{\left( \dfrac {1} {\sqrt {\left( a^{3}+1\right)}}+\dfrac {1} {\sqrt {\left( b^{3}+1\right)}}+\dfrac {1} {\sqrt {(c^{3}+1)}}\right) }{3}^2 $ herk iki tarafı $(a^2+b^2+c^2)$ çarparsak ;

${\left( \dfrac {1} {\sqrt {\left( a^{3}+1\right)}}+\dfrac {1} {\sqrt {\left( b^{3}+1\right)}}+\dfrac {1} {\sqrt {(c^{3}+1)}}\right) }^2\geq 1$ elde edilir ki ; ${\left( \dfrac {1} {\sqrt {\left( a^{3}+1\right)}}+\dfrac {1} {\sqrt {\left( b^{3}+1\right) }}+\dfrac {1} {\sqrt {(c^{3}+1)}}\right) }\geq 1$

olduğunu Hölder Eşitsizliğinden'dan biliyoruz.İspat biter.