EŞİTSİZLİK $20$

[MATSEVER 27]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a+b+c$ $=$ $3$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$abc (a^2+b^2+c^2) \le 3$$
olduğunu gösteriniz.

[taftazani44]

Bulamadım ama yinede paylaşayım

[taftazani44]

(a+b+c)²≤3(a²+b²+c²)
3≤(a²+b²+c²)
ayrıca Go≤Ao dan abc≤1
Yani 0<abc≤1
Basit kesirle (a²+b²+c²) bin çarpımı eşitsizliğin yönünü değiştirir dolayısıyla
abc(a²+b²+c²)≤3 denile bir mi?

[MATSEVER 27]

Ne yazık ki hayır. Tam olarak böyle bir şey denilemez. Örneğin $abc=\dfrac{1}{2}$ ve $a^2+b^2+c^2=16$ olsun. Sağlamaz. Farklı bir biçimde yaklaşmanız gerekiyor.

[taftazani44]

a+b+c=3
abc≤1
İken a²+b²+c²=16 olabilir mi?

[MATSEVER 27]

Haklısınız o halde farklı bir örnek verelim. $a=\dfrac{1}{2}, b=\dfrac{1}{2}, c=2$ olsun. O halde $abc=\dfrac{1}{2}$ dir. Ayrıca $a^2+b^2+c^2=\dfrac{9}{2}>3$ olur. Yani tam olarak böyle bir denilemez. (İlk baştaki örnekte ufak bir hata olmuş, özür diliyorum. Ancak bu yoldan çıkmıyor galiba. Bence farklı bir yol deneyebilirsiniz. )

[taftazani44]

abc(a²+b²+c²)=a³bc+ab³c+abc³≤a³b³c³+a³b³c³+a³b³c³≤3a³b³c³≤3.1
[abc≤1 Ago]

[ArtOfMathSolving]

eşitsizliğimizi $a^3bc+ab^3c+abc^3\leq 3$ şeklinde düzenleyelim.

Chebyshev Eşitsizliğinden $\dfrac {(a^3+b^3+c^3)(ab+ac+bc)}{3}\leq 3 \Rightarrow (a^3+b^3+c^3)(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2$ olur.
 Cauchy-schwarz'dan $(a^3+b^3+c^3)(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2$ olduğunu biliyoruz. İspat biter