EŞİTSİZLİK 137

[MATSEVER 27]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere;
$$\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$
ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu tam bir çözüm değildir.
Paydadaki ifadelere aritmetik-geometrik orta uygularsak:
$\sum{\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^3)^3}}\leq \sum{\frac{x^3y^4z^3}{(2x^2y^2)(2z\sqrt{xy})}}$
= $\sum{\frac{x^3y^4z^3}{16x^3y^3z^3\sqrt{xy}}}=\sum{\frac{\sqrt{y}}{16\sqrt{x}}}$
=$\frac{1}{16}[\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{z}{x}}+\sqrt{\frac{x}{z}}]$ çıkıyor. Buradan sonrasını tam çıkaramadım. Baştaki ifadede paydadaki ikinci denklemin üssünün 3 olması belki de $xy+z^2$ için direkt aritmetik-geometrik orta değil de $\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+z^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{(xyz)^2}{4}}$ yapmak da alternatif bir yol. Veyahut $z^2$ de parçalanabilir. Ancak oralardan da kesin bir sonuçtan yani sayıdan ziyade bir ifade çıkıyor. Ya da birşey kaçırıyorum.