IMO 2013 - Shortlist - G4

[geo]

$ABC$, $\angle B > \angle C$ olacak şekilde bir üçgen olsun. $P$ ve $Q$, $AC$ doğrusu üzerinde $\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB$ ve $A$ noktası $P$ ve $C$ noktaları arasında olacak şekilde iki farklı nokta olsun. $BQ$ doğru parçası üzerinde $PD=PB$ olacak şekilde bir $D$ noktası olduğunu varsayalım. $AD$ ışını $ABC$ çemberini $R\neq A$ da kessin. $QB=QR$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$\angle ACB = \theta$, $\angle ABC = \beta$ ve $\angle ACD = \alpha$ olsun.

$\angle PBA = \angle PCB = \theta$ olduğu için $PQ\cdot PC = PB^2$.
$PC^2 = PB^2 = PQ \cdot PC$ olduğu için de $\angle PDA = \angle PCD = \alpha$.

$\angle BQA = \angle ABC = \beta$ ve $\angle PDB = 2\theta$ olduğu için $\angle DAQ = 2\theta + \alpha - \beta$.

$ABRC$ kirişler dörtgeninde $\angle RBC = \angle RAC = 2\theta + \alpha - \beta$.
$\angle QBC = \angle ABC - \angle ABQ = \beta - \theta$ olduğu için $$\angle QBR = \beta - \theta + 2\theta + \alpha - \beta = \theta + \alpha. \tag{1}$$
$\angle ABC = \angle ARC = \angle AQB = \beta$ olduğu için $RDQC$ bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle DRQ = \angle DCQ = \alpha$.
Aynı zamanda $ABRC$ kirişler dörtgeninde $\angle BRA = \angle BCA = \theta$ olduğu için $$\angle BRQ = \angle BRA  + \angle DRQ = \theta + \alpha. \tag{2}$$
Bu da demek oluyor ki $QB=QR. \blacksquare$