Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 22

[Egemen]

$pqr=2pr+qr+10p$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,q,r)$ asal sayılar üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 5\qquad\textbf{b)}\ 4\qquad\textbf{c)}\ 3\qquad\textbf{d)}\ 2\qquad\textbf{e)}\ 1$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed D$

Eşitliği düzenlersek $r(pq-2p-q)=5\cdot 2\cdot p$

$r=5$ ise $ pq-2p-q=2\cdot p$, $q(p-1)=4p$

$p=q$ olmalıdır. $p-1=4$, $p=q=5$ $(5,5,5)$ üçlüsü sağlar.

$r=2$ ise $ pq-2p-q=5.p$, $q(p-1)=7p$

$p=q$ olmalıdır. $p=q$ ise $p-1=7$, $p=q=8$, $8$ sayısı asal değildir.

$r=p$ ise $ pq-2p-q=10 $, $p=\dfrac{10+q}{q-2}=1+\dfrac{12}{q-2}$
$p=13$, $q=3$ olmalıdır. $(13,3,13)$ üçlüsü sağlar.