Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 25

[Egemen]

Her hamlede başlangıçta her birinde eşit sayıda şeker olan $n$ öğrenciden biri elindeki şekerlerin bır kısmını diğer öğrencilere eşit olarak dağıtıyor. $n$'nin kaç farklı değeri için, sonlu sayıda hamle sonucunda öğrencilerden birinin elinde $36$, bir diğerinin elinde de $21$ şeker bulunması sağlanabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[mustafaemir]

Yanıt:$\boxed{C}$.

Her öğrencinin en başta $a$ şekeri olsun ve $1.$ öğrenci diğer öğrencilere $a_{1}$, $2.$ öğrenci $a_{2}$, $\cdots$ , $n.$ öğrenci $a_{n}$ şeker dağıtsın. $1.$ öğrencinin en son $36$, $2.$ öğrencinin en son $21$ şekeri olsun.
$1.$ öğrencinin en son sahip olduğu şeker sayısı $a-(n-1)\cdot a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=a-n\cdot a_{1}+(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})=36\quad (1)$
$2.$ öğrencinin en son sahip olduğu şeker sayısı $a-(n-1)\cdot a_{2}+a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{n}=a-n\cdot a_{2}+(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})=21\quad (2)$
$(1)$ den $2$ yi çıkarırsak $n\cdot(a_{2}-a_{1})=15 \Longrightarrow n\mid 15 \Longrightarrow n\in \{ 3,5,15\}$