Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 26

[Egemen]

$a^2+a+34=b^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 0$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

Eşitliği $4$ ile çarpalım ve tamkare ifadeleri ayıralım, $$4a^2+4a+136=4b^2 \Longrightarrow (2a+1)^2+135=(2b)^2$
$\Longrightarrow (2b)^2 - (2a+1)^2=135 \Longrightarrow (2b+2a+1)\cdot(2b-2a-1)=135$$
$a,b\in\mathbf Z^+$ olduğundan $2b+2a+1$'nin pozitif ve $2b-2a-1$'den büyük olduğu açıktır. Ayrıca $(2b+2a+1)+(2a-2b-1)=4b$ olduğundan,
$135=135\cdot1=45\cdot3=27\cdot5=15\cdot9$ şekilde $4$ çarpan çifti oluşturulabilir. Oluşan $(a,b)$ ikilileri ise $(33,34), (10,12), (5,8), (1,6)$ olmak üzere $4$ tanedir.