Cevap: $\boxed{C}$
Verilen bilgilerden $$A=P(1)-1=a+b+c\geq 1$$ $$B=P(3)-27 =9a+3b+c\leq 4$$ şeklindedir. Bizim ise $C=P(4)-64=16a+4b+c$ ifadesinin alabileceği değerleri bulmamız lazım. Üç değişkenli üç lineer denklemi matris ile çözebiliriz. $$\left[ {\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\9 & 3 & 1\\16 & 4 & 1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\ \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{ccc}A\\B\\C\\ \end{array} } \right]$$ Matrisin tersini hesaplarsak $$\left[ {\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3}\\-\dfrac{7}{6} & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{4}{3}\\2 & -2 & 1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{ccc}A\\B\\C\\ \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\ \end{array} } \right]$$ elde edilir. Yani $$A-3B+2C=6a$$ $$-7A+15B-8C=6b$$ $$2A-2B+C=c$$ olur. $a,b,c>0$ olduğunu kullanırsak $C$'yi üstten ve alttan sınırlayabiliriz. $$\dfrac{15B-7A}{8}>C>\max\left\{2B-2A, \dfrac{3B-A}{2}\right\}$$ Öncelikle $B=9a+3b+c>a+b+c=A$ olduğundan alt sınır kesinlikle pozitiftir. Dolayısıyla $C\geq 1$ olacaktır. Üst sınır için $$\dfrac{15\cdot 4-7}{8}=6.625\geq \dfrac{15B-7A}{8}$$ olduğundan $6\geq C$ olacaktır. Eğer $C=1$ ise $1\geq \dfrac{3B-A}{2}$ olacağından $\dfrac{2+A}{3}\geq B>A$ olur. Ancak $A\geq 1$ olduğundan üst sınır alt sınırdan küçük olur. Bu bir çelişkidir. $C=2,3,4,5,6$ değerlerini alabilir yani $P(4)=66,67,68,69,70$ olabilir.
Örnek durumlar için $A=1$ seçilerek $C$ değerlerine uygun $B$'ler bulunabilir.
