Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 16

[geo]

$x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[t-temiz]

$x^4-4x^3+5x^2-4x+1=(x^2+ax+1).(x^2+bx+1)$ şeklinde olabilir. Burada bir tahmin yapmış oldum. Polinom eşitliğini kullanırsak
$a+b=-4$ ve $a.c=3$ eşitliklerini elde ederiz buradan $a=-3$ ve $b=-1$ bulunur. Yani $x^4-4x^3+5x^2-4x+1=(x^2-3x+1).(x^2-x+1)$ olur.
        $1)$ $(x^2-3x+1)=0 \Rightarrow x_1+x_2=3$
        $2)$ $(x^2-x+1)=0 \Rightarrow \Delta\lt0$ olduğundan reel kök yoktur.

Öyleyse gerçel kökler toplamı $3$ olur. Cevap $C$

[muuurat]

$x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^2=(x-1)^4-x^2=[(x-1)^2-x][(x-1)^2+x]=$
$=(x^2-3x+1)(x^2-x+1)=0$