Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 23

[geo]

Ayşe, masanın üstünde duran farklı renklerdeki dokuz topun ağırlıklarının $1,2,\cdots, 9$ gram olduğunu biliyor, ancak hangi topun hangi ağırlıkta olduğunu bilmiyor. Barış ise, her topun ağırlığını biliyor. Barış, hangi kefenin ağır olduğunu ve kefelerindeki ağırlıkların farkını gösteren bir teraziyi en az kaç kez kullanarak bu bilgisini Ayşe'ye kanıtlayabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Tek ölçümle tüm ağırlıkları bildiğini gösteremeyeceğini görmek zor değildir. İki ölçümle gösterelim. İlk ölçümde $1,2,3$ ağırlıklarını bir kefeye $7,8,9$ ağırlıklarını bir kefeye koyalım. Aralarındaki ağırlık farkı $18$ olarak gösterecektir. Kefeler $3$ topla elde edebileceği maksimum ve minimum ağırlıklar alındığında $18$ gram fark oluşacağından, Ayşe $18$ gram farkı gördüğünde hafif kefede $1,2,3$, ağır kefede $7,8,9$ olduğunu görecek, kullanılmayan topların ise $4,5,6$ olduğunu anlayacaktır. Bu top gruplarına hafif, orta, ağır grup diyelim.

İkinci ölçümde $1,4,7$ ve $3,6,9$ ağırlıkları farklı kefelere konulursa aralarındaki fark $6$ olacaktır. Ayşe, her kefede üç gruptan da birer tane top kullanıldığını biliyor. Aralarındaki fark en fazla $6$ olabileceğinden, hafif kefede olabilecek en küçük toplar, ağır kefede ise olabilecek en büyük toplar kullanıldığını anlayacaktır. Örneğin $1$'in hem hafif grupta hem de bu grubun en küçüğü olduğunu bildiğinden onun $1$ gram olduğunu anlayacaktır. $5$'in orta grupta olduğunu ve tartılmadığından grubun ortancası olduğunu bilecek ve $5$ gram olduğunu anlayacaktır.

Böylece $2$ ölçümle tüm topların ağırlıkları öğrenilebilir.