Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 30

[geo]

$x^3 - 2x + 6 \equiv 0 \pmod {125}$ ve $0 \leq x < 125$ koşullarını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$x^3 - 2x + 6 \equiv 0 \pmod 5 \Rightarrow x = 5k+1$ veya $x = 5k+2$.

$x=5k+1$ için
$(5k+1)^3 - 2(5k+1) + 6 \equiv 75k^2 + 5k + 5 \equiv 0 \pmod {125} \Rightarrow 15k^2 + k + 1 \equiv 0 \pmod {25}$
$k \equiv 4 \pmod 5$ olduğu için $x = 5(5k+4)+1 = 25k+21$ olmalı.

$\begin{array}{rcll}
(25k+21)^3 - 2(25k+1) + 6 &\equiv & 75k\cdot 441 -50k + 21^3 - 36 & \pmod {125} \\
&\equiv& 75k \cdot 441 - 50k + 9225 & \pmod {125} \\
&\equiv& 75k \cdot 441 - 50k - 25 & \pmod {125} \\
\end{array}$

$3k \cdot 441 - 2k - 1 \equiv 0 \pmod 5 \Rightarrow k \equiv 1 \pmod 5$ olur. Bu durumda $x = 25(5k+1)+21 = 125k + 46$ elde edilir.


$x=5k+2$ için
$(5k+2)^3 - 2(5k+2) + 6 \equiv 25k^2 + 50k + 10 \equiv 0 \pmod {125} \Rightarrow 5k^2 + 10k + 2 \equiv 0 \pmod {25}$ den çözüm gelmez.

O halde, tek çözüm $x=46$ dır.