Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

$49^{303} \cdot 3993^{202} \cdot 39^{606}$ sayısının son üç rakamı nedir?


$
\textbf{a)}\ 001
\qquad\textbf{b)}\ 081
\qquad\textbf{c)}\ 561
\qquad\textbf{d)}\ 721
\qquad\textbf{e)}\ 961
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed C$

Sayıyı asal çarpanlarına ayırırsak $7^{606} \cdot 11^{606} \cdot 13^{606}\cdot 3^{808}$ elde ederiz.

Son 3 basamağı öğrenmek için $\pmod {1000}$'de incelemeliyiz.

$7\cdot 11\cdot 13=1001 \equiv 1 \pmod {1000}$

$7^{606} \cdot 11^{606} \cdot 13^{606} \equiv 1^{606} \equiv 1\pmod {1000}$

Euler Teoreminden $3^{400}\equiv 3^{800} \equiv 1\pmod {1000}$ olduğunu görürüz.

Sayımız $\pmod {1000}$'de $3^8$'e eşittir.

$3^8=6561 \equiv 561 \pmod {1000}$