Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 02

[geo]

$2^{1998}$ sayısının ondalık yazılımı ile $5^{1998}$ sayısının ondalık yazılımını art arda yazarsak, oluşan yeni sayı kaç basamaklı olur?

$
\textbf{a)}\ 1998
\qquad\textbf{b)}\ 1999
\qquad\textbf{c)}\ 2000
\qquad\textbf{d)}\ 3996
\qquad\textbf{e)}\ 3998
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$10^a < 2^{1998} < 10^{a+1}$ ise $2^{1998}$ sayısı $a+1$ basamaklıdır.
$10^b < 5^{1998} < 10^{b+1}$ ise $5^{1998}$ sayısı $b+1$ basamaklıdır.
Taraf tarafa çarparsak $$10^{a+b} < 10^{1998} < 10^{a+b+2}$$ olacağından, $a+b < 1998 = a+b+1 < a+b+2$ elde edilir. Bu durumda yeni sayı $(a+1)+(b+1) = a+b+2$ basamaklı olacağından $a+b+1 = 1998 \Rightarrow a+b+2 = 1999$ elde edilir.

[geo]

$2^{1998} = 10^a$ olsun. $10^a$ sayısı da $\lfloor a \rfloor + 1$ dir.
Her iki tarafın $\log {}$ unu alırsak, $1998 \log{2} = a$ olacağından $2^{1998}$ sayısı $\lfloor a \rfloor + 1 = \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + 1$ basamaklı olacaktır.
Benzer şekilde $5^{1998} = 10^b$ sayısı da $\lfloor 1998 \log {5} \rfloor + 1$ basamaklı olacaktır.
Bu iki sayının yan yana yazımı $\lfloor 1998 \log {2} \rfloor + 1 + \lfloor 1998 \log {5}\rfloor + 1 = \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + \lfloor 1998 \log {5}\rfloor + 2$ basamaklıdır.
$$ 1998 \log {2} - 1< \lfloor 1998 \log {2} \rfloor < 1998 \log {2} $$ $$ 1998 \log {5} - 1< \lfloor 1998 \log {5}\rfloor < 1998 \log {5} $$ ifadelerini taraf tarafa toplarsak, $$ 1998(\log {2} + \log {5}) - 2< \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + \lfloor 1998 \log {5}\rfloor < 1998(\log{2} + \log{5})$$ elde edilir. $\log {2} + \log {5} = \log {2\cdot 5} = \log {10} = 1$ olacağından, $$1998-2 = 1996 < \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + \lfloor 1998 \log {5}\rfloor < 1998$$ olur. Bu durumda aranan sayı $\lfloor 1998 \log {2} \rfloor + \lfloor 1998 \log {5}\rfloor + 2 = 1997 + 2 = 1999$ basamaklı olacaktır.

[geo]

İlk sayı $A=\lfloor 1998 \log {2} \rfloor + 1$ basamaklı, ikinci sayı $B = \lfloor 1998 \log {5} \rfloor + 1$ basamaklı.
$\log {2} + \log {5} = 1 \Rightarrow \log {5} = 1 - \log {2} $ özdeşliğini kullanarak,
$$\begin{array}{lcl}
A+B &=& \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + 1 + \lfloor 1998 (1 - \log {2}) \rfloor + 1 \\
&=& \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + 1 + \lfloor 1998- 1998 \log {2}) \rfloor + 1 \\
&=& 2000 + \lfloor 1998 \log {2} \rfloor + \lfloor -1998 \log {2}\rfloor
\end{array}$$ $\lfloor \ \rfloor$ fonksiyonu ile aşmayan en büyük tam sayıyı gösterdiğimiz için pozitif değer $0 \leq n < 1 $ ve $M$ tam sayı olmak üzere; $\lfloor M+n \rfloor = M$ ise $\lfloor -(M+n) \rfloor = -M-1$ dir.
Bu durumda, $A+B = 2000 - 1 = 1999$ olacaktır.

[geo]

Biraz test mantığı ile soruya yaklaşacağız.

$n=0$ için $\overline{2^05^0}= 11 \Rightarrow 2 $ basamaklı

$n=1$ için $\overline{2^15^1}= 25 \Rightarrow 2 $ basamaklı

$n=2$ için $\overline{2^25^2}= 425 \Rightarrow 3 $ basamaklı

$n=3$ için $\overline{2^35^3}= 8125 \Rightarrow 4 $ basamaklı

$n=4$ için $\overline{2^45^4}= 16625 \Rightarrow 5 $ basamaklı

$n=5$ için $\overline{2^55^5}= 323125 \Rightarrow 6 $ basamaklı

$n=6$ için $\overline{2^65^6}= 6415625 \Rightarrow 7 $ basamaklı

$n=7$ için $\overline{2^75^7}= 12878125 \Rightarrow 8 $ basamaklı

Bu şekilde giderse $n=1998$ için $\overline{2^{1998}5^{1998}}$ sayısı $n+1 = 1999$ basamaklı olacaktır.
Bu çıkarımımız tamamen sezgiseldir. $1999$ cevabı test tekniği açısından bir tahmin niteliği taşımaktadır. Olimpiyat sorularında bu tip çıkarımlar yaparken dikkatli olunmalıdır. Ters köşeye yatabiliriz.