Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 04

[geo]

$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere, $2x^2+5y^2+10z^2-2xy-4yz-6zx+3$ ifadesinin alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ -3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Bu tip sorularda amaç, ifadeyi tam kare çarpanlara ayırmaktır. Neden böyle olduğunu birazdan daha iyi anlayacaksınız.
$$(x^2 - 2xy + y^2) + (4y^2 - 4yz + z^2) + (x^2 - 6xz + 9z^2) + 3 = (x-y)^2 + (2y-z)^2 + (x-3z)^2 + 3 $$
$(x-y)^2 \geq 0$, $(2y-z)^2 \geq 0$ ve $(x-3z)^2 \geq 0$ olduğu için $ (x-y)^2 + (2y-z)^2 + (x-3z)^2 + 3 \geq 3 $ elde edilir.
Yani cevabın $\geq 3$ olduğunu biliyoruz. Peki $3$ olabilir mi? Bunun için eşitsizliklerdeki eşitlik kısımlarını ortak çözmek gerekecek.
$$\begin{array}{rcl}
x-y &=& 0 \\
2y-z &=& 0 \\
x-3z &=& 0
\end{array}
$$
Açık şekilde $x=y=z=0$ bir çözüm. Bu durumda $ (x-y)^2 + (2y-z)^2 + (x-3z)^2 + 3 = 3 $ elde edilir.