Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $BC , AC$ ve $AB$ kenarlarına sırasıyla, $A_{1} , B_{1}$ ve $C_{1}$ noktalarında teğettir. $AA_{1}$ doğrusu, iç teğet çemberi ikinci kez $Q$ noktasında kesiyor. $A_{1}C_{1}$ ve $A_{1}B_{1}$ doğruları, $A$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğruyu sırasıyla, $P$ ve $R$ noktalarında kesiyor. $ m(\widehat{PQC_{1}})=45^\circ$ ve $m(\widehat{RQB_{1}})=65^\circ$ ise, $m(\widehat{PQR})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 110
\qquad\textbf{b)}\ 115
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 125
\qquad\textbf{e)}\ 130
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\angle C_1A_1B = \angle APC_1 = \angle C_1QA_1 \Rightarrow A,P,C_1,Q$ çemberseldir. Benzer şekilde $ A,R,B_1,Q$ çemberseldir.
$ \angle QC_1B_1 = \angle RPQ = \angle QB_1C_1$ ve $\angle QB_1A = \angle PRQ = \angle QC_1B_1$. Bu durumda, $ \angle PQR = \angle B_1QC_1 = \alpha$.
$Q$ tam açısını yazarsak $ 2\alpha + 45^\circ + 65^\circ = 360^\circ \Rightarrow \alpha = 125^\circ$ elde ederiz.