Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 3

[geo]

Verilen bir $ABC$ dik üçgeninde uzunluğu $a$ olan $BC$ hipotenüsü, $n$ eşit parçaya ($n$ tek tam sayı) bölünüyor. Hipotenüsün orta noktasını bulunduran parçayı gören $A$ dar açısı $\alpha$ olsun. Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu da $h$ olsun. $$\tan \alpha = \dfrac{4nh}{(n^2-1)a}$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$a=2n$ olsun ve $AB > AC$ olsun. $\tan \alpha = \dfrac{2h}{n^2 - 1}$ olduğunu göstereceğiz.

$X$ ve $Y$ noktaları, $BC$ üzerinde $BX=CY=n-1$ olacak şekilde alınsın. $\angle XAY = \alpha$ dır. $Y$ den $AX$ e inilen dikmenin ayağı $Z$, $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $XY$ nin orta noktası $M$ olsun. $M$ aynı zamanda $BC$ nin de orta noktası olacağından $AM=n$ dir.
$AM^2 - AH^2 = MH^2 \Rightarrow MH = \sqrt {n^2 - h^2}$,

$HY=\sqrt{n^2-h^2} - 1$ ve $XH=\sqrt{n^2-h^2}+1$ olacaktır.

$AZ^2 + YZ^2 = AH^2 + HY^2 \Rightarrow AZ^2 + YZ^2 = n^2 + 1 - 2\sqrt{n^2-h^2}$

$AX^2 = XH^2 + AH^2 \Rightarrow AX^2 = n^2 + 1 + 2\sqrt{n^2 - h^2}$


$[AXY] = \dfrac 12 \cdot AX \cdot ZY = \dfrac 12 \cdot AH \cdot XY \Rightarrow YZ = \dfrac{2h}{AX}$

$AZ^2 = n^2 + 1 - 2\sqrt{n^2 - h^2} - YZ^2 = n^2 + 1 - 2\sqrt{n^2 - h^2} - \dfrac{4h^2}{n^2 + 1 + 2\sqrt{n^2-h^2}}$

$AZ^2 = \dfrac { (n^2+1)^2 - 4(n^2-h^2) - 4h^2} {n^2 + 1 + 2\sqrt{n^2-h^2}} = \dfrac{n^4+2n^2 + 1 - 4n^2}{AX^2} = \dfrac{(n^2-1)^2}{\dfrac {4h^2}{YZ^2}}$

$AZ = \dfrac{n^2-1}{2h} \cdot YZ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{2h}{n^2-1}$