Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1991 Soru 1

[geo]

Verilen bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. $A,B,C$ açılarına ait içaçıortaylar karşı kenarları sırasıyla $A',B',C'$ noktalarında kesiyor. $$\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI \cdot CI}{AA' \cdot BB' \cdot CC'} \leq \dfrac{8}{27}$$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ diyelim. $BA'=\dfrac {ac}{b+c}$ ve $\dfrac{AI}{AA'} = \dfrac{AB}{AB+BA'} = \dfrac {c}{c + \dfrac{ac}{b+c}} = \dfrac{b+c}{a+b+c}$ olacaktır.
Benzer şekilde $\dfrac{BI}{BB'} = \dfrac{a+c}{a+b+c}$ ve $\dfrac{CI}{CC'} = \dfrac{a+b}{a+b+c}$.

$a=x+y$, $b=y+z$, $c=x+z$ ve $u=x+y+z$ şeklinde değişken değiştirelim ve sorudaki ifadeyi yeniden yazalım:
$$\dfrac{1}{4} < \dfrac{u+z}{2u}\cdot \dfrac{u+x}{2u} \cdot \dfrac{u+y}{2u} \leq \dfrac{8}{27}$$
$GO \leq AO$ dan dolayı, $$\sqrt[3] {(u+x)(u+y)(u+z)} \leq \dfrac{4u}{3}$$ eşitliğin sağ tarafı kolayca gösterilebilir.
Şimdi sol tarafı gösterelim: $$\dfrac{8u^3}4 < (u+x)(u+y)(u+z)$$ $$2u^3 < u^3 + u^2(x + y + z) + uxy + uxz + uyz + xyz$$ $$2u^3 < u^3 + u^3 + uxy + uxz + uyz + xyz$$ $$0 < uxy + uxz + uyz + xyz.$$