Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$4mn\left ( m+n-1 \right )=\left ( m^{2}+1 \right )\left ( n^{2}+1 \right )$ eşitliğini sağlayan kaç $\left(m,n\right)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$ 

[osman211]

Öncelikle $(m,n)=d$ olsun. $m=d\cdot a$, $n=d \cdot b$.

$4d^2ab(ad+bd-1) = (abd)^2+(ad)^2 + (bd)^2 + 1$ ifadesine $\bmod d$ de bakarsak, sol taraf $d$ ile bölünür, sağ taraf da $1$ kalır. Demek ki ortak bolenleri $d=1$ dir.

Öncelikle, ifadeyi $(1,-1)$, $(1,1)$, $(-1,1)$ çiftleri sağlıyacaktır.

Şimdi $m$ yi bölen en kücük $p$ asalını ele alalım:

İfadenin sol tarafı $p$ ile bölünür, sağ taraf $n^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$ olmalı. Burada $n^2 \equiv -1 \pmod p$ ve $n^4 \equiv 1 \pmod p$ olacaktır. $n$ nin mertebesi $\text{ord}(n)=4$ olduğundan, $4 \mid p-1$, buradan da $p=4k+1$ şeklinde bir asal sayı çıkar.
En küçük $p=5$ olduğundan, en küçük $m=5$ alırsak, $n=13$ çıkar. İfade simetrik olduğundan  $(5,13)$, $(13,5)$ ikilisi de çözümü sağlar.

Tüm çözümler; $(1,-1)$, $(1,1)$, $(-1,1)$, $(5,13)$, $(13,5)$ olmak üzere $5$ tanedir.