Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 09

[alpercay]

$ABC$ üçgeninde $|AB|=18$, $|AC|=24$ ve $m(\widehat{BAC})=150^\circ$ dir. $D$ noktası $[AB]$, $E$ noktası $[AC]$ ve $F$ noktası $[BC]$ kenarları üstünde olmak üzere, $|BD|=6, |CE|=8$ ve $|CF|=2|BF|$ dir. $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ noktasının $D$, $E$ ve $F$ noktalarına göre simetrikleri sırasıyla, $H_1, H_2$ ve $H_3$ noktaları ise, $H_1H_2H_3$ üçgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 70
\qquad\textbf{b)}\ 72
\qquad\textbf{c)}\ 84
\qquad\textbf{d)}\ 96
\qquad\textbf{e)}\ 108
$

[geo]

$H$ merkezli homotetiden dolayı, $H_1H_2H_3$ üçgeni ile $DEF$ üçgeninin benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ dir.

Yani, $\left[H_1H_2H_3\right]=4\left[DEF\right]=2\left[ADE\right]=2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 16\cdot {\sin  {150}^{\circ }\ }\right)=96$.