Tübitak Lise Takım Seçme 2011 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin $A$ noktasından geçen çapının diğer ucu $D$ ve içteğet çemberinin merkezi $I$ olsun. Sırasıyla $[BA$ ve $[CA$ ışınları üstünde yer alan $E$ ve $F$ noktaları $$\vert BE\vert =\vert CF\vert =\dfrac{\vert AB\vert +\vert BC\vert +\vert CA\vert }{2}$$ koşulunu sağlıyorsa, $EF$ ve $DI$ doğrularının dik olduğunu gösteriniz.

(Mehmet Hamidoğlu)

[ERhan ERdoğan]

$ u , r , R $ bilinen gösterimler olmak üzere ; $|BE|=|CF|=u , |AD|=2R$ dir.
İçteğet çemberin $[AB]$ ve $[AC]$ ye değme noktaları sırasıyla $K$ ve $T$ olsun.
$|BT|=u-b , |CK|=u-c$ olduğundan, $|TE|=b , |KF|=c$ dir.

$\triangle{ITE}$ 'de, $$|IE|^{2}=b^{2}+r^{2} \tag{1}$$
$\triangle{IKF}$ 'de, $$|IF|^{2}=c^{2}+r^{2} \tag{2} $$
$\triangle{CDF}$ 'de, $$|DF|^{2}=u^{2}+|DC|^{2}=u^2+4R^{2}-b^{2} \tag{3}$$
$\triangle{BDE}$ 'de, $$|DE|^{2}=u^{2}+|BD|^{2}=u^2+4R^{2}-c^{2} \tag{4}$$
$(1)+(3) = (2)+(4)$ olduğundan, $IFDE$ içbükey dörtgeninin köşegenleri olan $ID$ ile $EF$ birbirine diktir.