(Burak VARICI, Mehmet Efe AKENGİN)
Tüm $n\ge 3$ tek tamsayıları bu durumu olanaklı kılar.
Arabalara $A_{1} ,A_{2} ,..,A_{n} $ diyelim ve $A_{i} $ yarışa $i.$ sırada başlamış olsun. $1\le i\le n$ için $A_{i} $ yarışı $x_{i} .$sırada bitirmiş olsun ve $k_{i} $ farklı arabayı geçmiş olsun. Herhangi arabanın geçildiği araba sayısına $k$ diyelim.
$1\le i\le n$ için $k_{i} $ ler farklı ve 0 dan büyük eşit olduğundan öyle $j$ var ki $k_{j} \ge n-1$. Diğer taraftan bir araba başka bir arabayı en fazla 1 kez geçebileceği için, $k_{j} \le n-1$. Dolayısıyla $k_{j} =n-1$ olur ve eşitlik durumunun sağlanması için $(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})$, $(0,1,\dots,n)$ in bir permütasyonu olmalıdır.
Geçme ve geçilme sayıları eşittir ve her araba $k$ kez geçilmiştir. Bu nedenle: $nk=0+1+\dots+n-1=\frac{n(n-1)}{2} {\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }k=\frac{n-1}{2} \in {\mathbb Z}^{+} $, demek ki $n$ tek tamsayı olmalıdır.
Şimdi her $n\ge 3$ tek tamsayısı için böyle bir yarışın mümkün olduğunu ispatlayalım.$A_{i_{1} } \to A_{i_{2} } \to \dots\to A_{i_{n} } $ ile , $A_{1} ,A_{2} ,..,A_{n} $ arabalarının yarış sırasındaki pozisyonlarını gösterelim öyle ki $i_{n} $ en önde ve $i_{1} $ en arkada olsun. Örneği şöyle kuracağız:
Yarışa $A_{n} \to A_{n-1} \to \dots\to A_{1} $ şeklinde başlanmış olsun. Önce $A_{\frac{n+3}{2} } ,{\rm \; }A_{\frac{n+1}{2} } $ ile $A_{\frac{n-1}{2} } $i arasına, ardından $A_{\frac{n+5}{2} } ,{\rm \; }A_{\frac{n-1}{2} } $ ile $A_{\frac{n-3}{2} } $ arasına, ardından $\dots$, son olarak benzer şekilde $A_{n} $ aracı $A_{1} $ ile $A_{2} $ arasına yerleşsin.
Böylece $1\le k\le \frac{n-1}{2}$ için $A_{\frac{n+1}{2} +k} $ aracı $2k-1$ araç geçmiş olur. $1\le k\le \frac{n-1}{2}$ için $A_{k} $ aracı da $k-1$ kez geçilmiş olur. Yine $0\le k\le \frac{n+1}{2}$ için $A_{n-k} $ aracı $k$ kez geçilmiş olur ve şu durum elde edilir:
$$A_{\frac{n+1}{2} } \to A_{\frac{n+3}{2} } \to A_{\frac{n-1}{2} } \to A_{\frac{n+5}{2} } \to \dots\to A_{2} \to A_{n} \to A_{1} .$$ Son olarak sırasıyla, $A_{\frac{n+1}{2} } $ aracı tüm araçları ; $A_{\frac{n-1}{2} } $ aracı $A_{\frac{n+1}{2} } $ dışındaki araçları ; $A_{\frac{n-3}{2} } $ aracı $A_{\frac{n+1}{2} } $ ve $A_{\frac{n-1}{2} } $ aracı dışındaki araçları ; $\dots$ ; $A_{2} $ aracı da sadece $A_{n} $ ve $A_{1} $ araçlarını geçsin:
$$A_{\frac{n+3}{2} } \to A_{\frac{n+5}{2} } \to \dots\to A_{n} \to A_{1} \to A_{2} \to \dots\to A_{\frac{n+1}{2} } $$ Yukarıdaki sıralama sağlanır ve arabalar yarışı bu sırayla bitirirler. Bu durumda $(1\le k\le \frac{n-1}{2} )$ için $A_{k} $ aracı $\frac{n-1}{2} +k+1$ kez geçilmiş olur. $A_{n-k} $ aracı da $\frac{n-1}{2} -k$ kez geçilmiş olur. $A_{k} $ aracı da $2k-2$ araç geçmiş olur. Sonuç olarak her araç toplamda $\frac{n-1}{2} $ kez geçilir ve $A_{k} $ ile $A_{\frac{n+1}{2} +k} $ araçları da hep birbirinden farklı sayıda (tek ve çift) araç geçer. Örnek sorudaki şartı sağlar.
O halde cevap ''$n$ tek'' tir.
