hiperbolün orijine uzaklığı

[Lokman Gökçe]

"math_tomas" isimli üyemizin sorduğu bir problemi aktarıyorum.

 
Soru: Koordinat başlangıcının $x^2+8xy+7y^2=225$ hiperbolüne olan minumum uzaklığı kactır?

[Ferhat GÖLBOL]

Soru: $x^2+8xy+7y^2=225$ olmak üzere $\sqrt{x^2+y^2}$ ifadesinin minimum değeri nedir?

Çözüm: 
$(2\sqrt2x)^2+(\sqrt2y)^2\geq2\cdot2\sqrt2x\cdot\sqrt2y$               $\cdots\cdots\left(a^2+b^2\geq2ab\right)$
$8x^2+2y^2\geq8xy$       Bu eşitsizlik verilen eşitlikle toplanırsa
$9(x^2+y^2)\geq225\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2\geq25\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2+y^2}\geq5$       (Her iki taraf pozitif)
$\sqrt{x^2+y^2}$ 'nin minimum değeri 5 bulunur. Eşitlik durumu için $2\sqrt2x=\sqrt2y\Rightarrow(x,y)=(\sqrt5,2\sqrt5)$ ya da $(x,y)=(-\sqrt5,-2\sqrt5)$ olmalıdır.