çemberde kesen-teğet {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

...

[Beyşehirli]

RT nin PO ya dik olduğunu göstereceğiz. [RO] yu çizelim. RO, [AB] yi dik keser ve iki eş parçaya ayırır. [RO] ile [AB] nin kesişim noktası M olsun. Bu durumda Pisagor’dan RM² = RB² - AB²/4 ... (1) dir. Ayrıca yine Pisagor'dan PR² = RM² + (PA + AB/2)² = RB² - AB²/4 + PA² + PA.AB + AB²/4 = RB² + PA² + PA.AB ... (2)
Bir dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi için gerek ve yeter şartın karşılıklı kenarlarının kareleri toplamının eşit olması olduğunu biliyoruz. O halde RO² + PT² = PR² + OT² olduğunu göstermemiz yeterlidir. Çemberin yarıçapı r olsun. Çemberde kuvvetten
RA² = RO² - r² ... (3) ve PA.PB = PT² ... (4) ve OT² = r² dir. Şimdi yukarıdaki (1), (2), (3), (4) eşitliklerini kullanarak şunları yazabiliriz:

RO² + PT² = PR² + OT² <=>
RA² + r² + PA.PB = RB² + PA² + PA.PB + r² <=> (Burada RA = RB dir)
PA(PB - AB) = PA² <=> PA.PA = PA² bulunur ki bu da zaten doğrudur.

[ERhan ERdoğan]

çözüm-2:

[Beyşehirli]

Sizin çözümünüz daha hoş olmuş hocam..