Limit ve epsilon tekniği

[tototamuz]

Sorular:

[senior]

Mantık:Epsilon'u y ekseni, deltayı x ekseni gibi düşünelim. Sana küçük bir epsilon,e, verildiğinde, öyle bir delta, d,  bulacaksın ki
|x-x₀| < d olduğunda, |f(x) - f(x₀)| < e olacak. Eğer fonksiyonun limiti var ise f(x)'in epsilon komşuluğu içerisine x'in delta komşuluğunun görüntüsünü yerleştirebilesin.
Yöntem:
 1) |f(x)-L| < e yazılıp, bir kaç işlem( ) ile |x-x₀| < g(.) elde edilir.
 2) Eşitsizliğin sağındaki ifade, yani g(.), aslında sadece epsilon cinsinden olmalıdır ama çoğu zaman olmaz.
 3) O zaman bundan küçüklüğü garantilenmiş, herhangi bir epsilon ifadesi delta olarak seçilebilir. Çünkü eğer x'in g(.) komşuluğunda herhangi bir değeri seçtiğimizde f(x)'in e komşuluğunda olacak ise, g(.)'den küçük herhangi bir delta, yine f(x)'in e komşuluğunda olacaktır.
 4) Aslında son adım olarak da, bulunan deltayı yerine koyarak sağlama yapılır. Ama bu kısım nispeten daha kolaydır.

Mesela sonuncu örneği ele alalım. (sqrt: karekök oluyor)
f(x) = 1/sqrt(1+x²) ve L = 1 ve bulmak istediğimiz |x-0| = |x| < d
                       |1/sqrt(1+x²)-1| < e
                       |1-sqrt(1+x²)| < sqrt(1+x²) * e
                       Burada x'li ifadeyi paya atmadan da mutlak değeri açıp |h(x)|<a olan ifadeyi -a < h(x) < a şeklinde yazabilirdik ama o zaman x paydada kalır epsilon pay'da kalırdı. Ters çevirdiğimizde ise x > ifade elde ederdik. Ama bizim istediğimiz x < ifade cinsinden olmalı.
                       |1-sqrt(1+x²)| < e < sqrt(1+x²) * e      Not: (|1-sqrt(1+x²)|=|sqrt(1+x²)-1|)
                       1 - e < sqrt(1+x²) < 1 + e
                       (1-e)² < 1+x² < (1+e)²
                       e²-2e < x² < e²+2e,   küçük epsilonlar  için e²-2e < 0'dır.
                       x² = |x|² < e²+2e
                       |x| < sqrt(e²+2e) ~ sqrt(2e) <---- e << 1
Not: Mesele deltayı sqrt(e²+2e)'da seçebilirdik, ya da sqrt(e) de. Çünkü hepsi |f(x)-L| < e 'yi garantiler.