$p$,$2n+7$`nin bir asal böleni olsun.$p<=n$ ise $p|n!$ olacagindan dolayı $p$,$n!-1$'i bölemez. O zaman $p>n$ olmalı.$2n+7=pk$ yazalım.$2p>pk-7$,$pk-2p<7$. $p(k-2)<7$. Bu eşitsizlikte $k$ ancak $1,2,3,4$ değerlerini alabilir. ancak $2n+7=pk$ tek olduğundan dolayı k çift olamaz. $k=3$ olursa $n<3$ olması gerekir ve yalnızca 1 değerini alabilir. k=1 durumunu inceleyelim şimdi.
$2n+7=p$ yani sayımız asalmış.
$n!=1(mod 2n+7)$
$(2n+6)!=-1(mod 2n+7)$
$\frac{(2n+6)!}{(2n+7-1)(2n+7-2)....(2n+7-n-5)(2n+7-n-6)} =1(mod 2n+7)$
$(2n+6)!=(2n+7-1)(2n+7-2)....(2n+7-n-5)(2n+7-n-6)(mod 2n+7)$
$-1=(2n+7-1)(2n+7-2)....(2n+7-n-5)(2n+7-n-6)(mod 2n+7)$
$(n+6)!$ sayısı n'in çift veya tek olma durumuna göre $mod(2n+7)$'de 1 veya -1'e denktir. İki durumu da inceleyeceğiz.
$(n+6)!=+-1(mod 2n+7)$
$n!(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)=+-1(mod 2n+7)$.$n!=1(mod2n+7)$ olduğundan.
$(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)=+-1(mod 2n+7)$
$2(n+1)2(n+2)2(n+3)2(n+4)2(n+5)2(n+6)=+-2^{6}(mod 2n+7)$
$225=+-2^{6}(mod 2n+7)$
$289=0(mod 2n+7)$ veya $23.7=0(mod 2n+7)$
$2n+7$ asal olduğundan yukarıdaki denkliklere göre bu sayı 17,23,7 olabilir. 17 ve 23 istenilen koşulu sağlar yani $n=5$,$n=8$
