Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$2025^3$ sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $375$ sayısının bir katı değildir?

$\textbf{a)}\ 43  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 58  \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 91$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$2025^3=45^6=3^{12}\cdot 5^6$ ve $375=3\cdot 5^3$'dür. $375$'in katı olup $2025^3$'ün böleni olan sayılar $375d$ formatındadır ve $d\mid 3^{11}\cdot 5^3$'dür. Bu şartı sağlayan $12\cdot 4=48$ bölen vardır. $2025^3$'ün bölenlerinin sayısı $13\cdot 7=91$ olduğundan $91-48=43$ tane pozitif bölen $375$'in katı değildir.