Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 22

[Metin Can Aydemir]

$n$ pozitif tam sayısının en büyük tek böleni $f(n)$ olmak üzere, $$f(25) + f(26) + f(27) + \cdots + f(200)$$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13150 \qquad \textbf{b)}\ 13250 \qquad \textbf{c)}\ 13350 \qquad \textbf{d)}\ 13450 \qquad \textbf{e)}\ 13550$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$n$'yi bölen en büyük $2$'nin kuvveti $2^{\ell}$ ise $f(n)=\frac{n}{2^{\ell}}$ olacaktır. $n=25,26,\dots, 200$ içerisindeki bir sayı en fazla $2^7=128$'e bölünebilir.

$2^0$'a bölünen: $25,27,29,\dots, 199$ ($88$ terim) olduğundan $$f(25)+f(27)+\cdots+f(199)=25+27+\cdots+199=24\cdot 88+(1+3+\cdots+175)=2112+88^2=9856.$$

$2^1$'e bölünen: $26,30,\dots,198$ ($44$ terim) olduğundan $$f(26)+f(30)+\cdots+f(198)=13+15+\cdots+99=12\cdot 44+(1+3+\cdots+87)=528+44^2=2464.$$

$2^2$'e bölünen: $28,36,\dots,196$ ($22$ terim) olduğundan $$f(28)+f(36)+\cdots+f(196)=7+9+\cdots+49=6\cdot 22+(1+3+\cdots+43)=132+22^2=616.$$

$2^3$'e bölünen: $40,56,\dots,200$ ($11$ terim) olduğundan $$f(40)+f(56)+\cdots+f(200)=5+7+\cdots+25=4\cdot 11+(1+3+\cdots+21)=44+11^2=165.$$

$2^4$'e bölünen: $48,80,112,144,176$ olduğundan $$f(48)+f(80)+\cdots+f(176)=3+5+7+9+11=35.$$

$2^5$'e bölünen: $32,96,160$ olduğundan $$f(32)+f(96)+f(160)=1+3+5=9.$$

$2^6$'e bölünen: $64,192$ olduğundan $$f(64)+f(192)=1+3=4.$$

$2^7$'e bölünen: $128$ olduğundan $f(128)=1$ olacaktır. Dolayısıyla toplam, $$9856+2464+616+165+35+9+4+1=13150$$ bulunur.