Kenarortay ve İç teğet çemberler

[geo]

$ABC$ üçgeninde $|AB|=9$, $|AC|=8$ olup, $[AB]$ üzerindeki $D$ ve  $[AC]$ üzerindeki $E$ noktası için $|BD|=|DE|=|EC|$ dir. $[DE]$ nın orta noktası $M$ olmak üzere; $AMD$ ve $AME$  üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ dir. $S=\text{Alan}(ABI)=\text{Alan}(ACJ)$ ise $S$ kaçtır?

[geo]

$ABC$ üçgeninde $|AB|=9$, $|AC|=8$ olup, $[AB]$ üzerindeki $D$ ve  $[AC]$ üzerindeki $E$ noktası için $|BD|=|DE|=|EC|$ dir. $[DE]$ nın orta noktası $M$ olmak üzere; $AMB$ ve $AMC$  üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ dir. $S=\text{Alan}(ABI)=\text{Alan}(ACJ)$ ise $S$ kaçtır?

Kusura bakmayın soruda bir hata olmuş. "$AMD$ ve $AME$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri" olmalıymış.

[geo]

$AMD$ nin çevresi $2u_1$, iç yarıçapı $r_1$ olsun.
$AME$ nin çevresi $2u_2$, iç yarıçapı $r_2$ olsun.
$DM=x$ olsun.

$[ABI]=[ACJ] \Longrightarrow AB\cdot r_1= AC\cdot r_2 \Longrightarrow \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac 89$.

$[AMD]=[AME] \Longrightarrow u_1\cdot r_1= u_2\cdot r_2 \Longrightarrow \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac {2u_2}{2u_1}=\dfrac{8- \dfrac x2+AM}{9-\dfrac x2+AM} =\dfrac 89$.

$72-\dfrac {9x}2+9\cdot AM = 72 - \dfrac {8x}2+8\cdot AM \Longrightarrow AM=\dfrac x2$. $AM=DM=ME$ olduğu için $\angle DAE=90^\circ$.

Pisagor'dan $x^2=(9-x)^2+(8-x)^2=81+x^2-18x + 64+x^2-16x=2x^2-34x+145$.

$x^2-34x+145 = (x-5)(x-29)=0 \Longrightarrow x_1 = 5$ ve $x_2 = 29$. $8-x>0 \Longrightarrow x<8$ olduğu için $x=5$ tir.
$AE=3$, $AD=4$ ve $DE=5$.

$S=[ABI]=\dfrac{9r_1}{2} = \dfrac{2u_1r_1}{2}=[ADM]=\dfrac{[ADE]}2=3$. $\blacksquare$